測度論、測度の台その2

こんにちは4sです。最近ブログを書くのが楽しくなってきました。前回の記事の終わりの方にも書きましたが、今日も測度の台について記事を書きます。

前回のまとめ:

$X$ を位相空間、$\mathcal{B}(X)$ は $X$ のBorel $\sigma$-加法族、$\mu$ はBorel測度とします。

・$\mu$ の台は、$\mu(X \setminus F)=0$ を満たす $X$ の閉部分集合 $F$ のうち、集合の包含関係について最小のもの。$\mu$ の台は $\text{supp}[\mu]$ と表記される。

・$X$ が強リンデレフ空間なら $\text{supp}[\mu]$ は常に存在する。第2可算公理を満たす位相空間は強リンデレフ空間。

さて、今日は $\text{supp}[\mu]=X$ を満たす測度について考えましょう。$\text{supp}[\mu]=X$ は次の条件と同値であることに注意しておきます:

$A$ が $X$ の空でない開部分集合なら $\mu(A)>0$。

これは台の定義から直ちに分かる。これは結構便利な必要十分条件です。実際、この条件をチェックすることで $d$ 次元ルベーグ測度は台が $\mathbb{R}^{d}$ 全体になることがすぐに分かりますね。$\mathbb{R}^{d}$ の空でない開部分集合は常に球を含むので、そのルベーグ測度は常に $0$ より真に大きい。他にはなんかあったっけ。ちょっと高級な例だけど、抽象Wiener空間 $(E,H,\mu)$ についても $\text{supp}[\mu]=E$ です。そういえばこれどうやって証明するんだっけ。

ちょっと眠くなってきたから今回はここまで！　また夜に記事を書くかも。

じゃ。