測度論、各点で真に正なら積分値も真に正

どうも4sです。今日も測度論について記事を書きます。

$(X,\mathcal{F},\mu)$ は測度空間で $\mu(X)>0$、$f$ は $X$ 上の実数値関数で任意の $x \in X$ に対して $f(x)>0$ である。このとき、$\int_{X}f\,d\mu>0$ が成り立つ。

今日はこの主張の証明をやってみようと思います。$\int_{X}f\,d\mu \ge 0$ を示すのは簡単なんだけど、等号を落とそうとすると少し頑張らないといけない。ちなみに、各点で真に正という仮定は $\mu$-a.e. で真に正という仮定に置き換えることが出来ます。

じゃ、やってみます。

まず、$X=\{x \in X \mid f(x)>0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x \in X \mid f(x)>1/n\}$ が成り立つことに注意します。 $\mu(X)>0$ という仮定から、$\mu(\{f>1/n_0\})>0$ を満たす自然数 $n_0$ が取れる。実際、もし取れないなら、任意の自然数 $n$ に対して $\mu(\{f>1/n\})=0$ だけど測度の $\sigma$-加法性から $\mu(X) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(\{f>1/n\})=0$ となって仮定に矛盾する。ここまで出来ればあとは簡単です。$X$ 上の積分を次のように下から評価して、
$$\begin{align*} \int_{X} f\,d\mu&=\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x \in X \mid f(x)>1/n\}}f\,d\mu \\ &\ge \int_{\{x \in X \mid f(x)>1/n_0\}}f\,d\mu \\ &\ge \frac{1}{n_0} \mu(\{f>1/n_0\}) \\ &>0 \end{align*}$$
これで証明終了ですね。$\mu(X)>0$ が大事な仮定ですが、これを満たさない例ってほとんどないような気がします・・・。

じゃ、今日はこの辺で。