測度論、大阪大学大学院の入試問題

4sです。 今回は大学院の入試問題を解いてみようと思います。

問題: $(X,\mathcal{A},\mu)$ を有限測度空間、$f:X \to (0,\infty)$ を $\mathcal{A}$-可測関数とする。 以下を示せ:

(L1) $\lim_{y \to \infty} y \int_{\{f>y\}} \frac{1}{f} \,d\mu=0$、

(L2) $\lim_{y \to 0} y \int_{\{f>y\}} \frac{1}{f} \,d\mu=0$。

平成29年度の大阪大学の院試の問題らしいです。 有限測度空間というのがポイントなんですかね・・・。

(L1) からやってみます。

$$\varlimsup_{y \to \infty} y \int_{\{f>y\}} \frac{1}{f} \,d\mu \le \varlimsup_{y \to \infty}\mu(\{f>y\}) \le  \mu \left(\varlimsup_{y \to \infty}\{f>y\} \right)$$

1つ目の不等式は積分範囲に注意すれば明らかですし、2つ目の不等式は有限測度空間上なら常に成り立つ測度の性質です。有限性を落とすと反例があるけど今回は大丈夫。

$\varlimsup_{y \to \infty}\{f>y\}=\{f=\infty\}=\emptyset$ が成り立つから

$$\varlimsup_{y \to \infty} y \int_{\{f>y\}} \frac{1}{f} \,d\mu \le 0$$

であり、左辺の積分は非負なので主張が従う。

(L2) もやりましょう。

$$y \int_{\{f>y\}} \frac{1}{f} \,d\mu = \int_{X}y\mathbf{1}_{\{f>y\}} \frac{1}{f}\,d\mu$$

という風に捉える。右辺の被積分関数は $y \to 0$ のとき各点で $0$ に収束し、

$$y\mathbf{1}_{\{f>y\}} \frac{1}{f} \le  y\mathbf{1}_{\{f>y\}} \frac{1}{y}  \le 1$$

と定数で上から評価することが出来る。定数関数は有限測度空間上で可積分であるからルベーグの収束定理が適用できて、

$$\lim_{y \to 0} y \int_{\{f>y\}} \frac{1}{f}\,d\mu =0$$

が従う。

まあこんな感じですかね。測度の有限性に注意すれば何とか解けます。では今回はこの辺で。