$\sigma$-有限測度空間とその特徴付け

こんにちは。4sです。今日は $\sigma$-有限測度空間について記事を書こうを思います。$\sigma$-有限測度空間といった用語は測度論の勉強をしていると良く出てくると思いますが、定義を復習しておきましょう。

測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ が $\sigma$-有限測度空間であるとは次の条件が成り立つときに言うのでした:

$\mathcal{F}$-可測集合の列 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ であって $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$、全ての $n \in \mathbb{N}$ に対して $\mu(A_n)<\infty$ を満たすものが存在する。

応用上重要な測度空間は大体 $\sigma$-有限測度空間です。例えば、$(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\lambda^d)$ (ここで$、\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$は $\mathbb{R}^d$ のボレル集合全体, $\lambda^d$ は $d$ 次元ルベーグ測度)は $\sigma$-有限測度空間。$A_{n}$ として $[-n,n]^d$ を考えれば良いです。

さて、上の $\sigma$-有限測度空間の定義、実は関数を使って特徴付けることが出来ます:

測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ が $\sigma$-有限測度空間であることと次は同値:

$X$ 上の実数値関数 $f$ で任意の $x \in X$ に対して $f(x)>0$ かつ $\int_{X}f\,d\mu<\infty$ を満たすものが存在する。

各点で真に正かつ可積分なものが存在する、$\sigma$-有限でないとこういう関数の存在すら保証されないんですね・・・。

気が向いたら証明を書こうと思います。では今日はこのへんで。